Chuyện phiếm quanh một bài toán vui

Nguyễn Nga Nhi
(
học sinh lớp 11 Toán 1 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam)

(Bài viết do tác gỉa gửi đến Sputnik — Các bạn đọc của Sputnik Newsletter có gì  thú vị muốn chia sẻ có thể gửi đến newsletter@sputnikedu.com)

Do có một chút thành tích trong các cuộc thi toán học ở cấp phổ thông, tôi đã có dịp được một số lần đến nói chuyện với các bạn học sinh về chuyện mình học toán như thế nào. Câu chuyện luôn xoay quanh những chủ đề như vì sao lại thích toán, học toán sao cho hiệu quả, rồi toán học có thực sự hữu ích đến thế trong cuộc sống không ? Trong các buổi giao lưu như vậy, tôi thường chia sẻ những trải nghiệm của mình và cũng đưa ra một vài bài toán để minh họa cho những thông điệp mình muốn truyền tải. Buổi nói chuyện đầu tiên đã diễn ra tại trường phổ thông liên cấp Vinschool Times City để tạo động lực cho các bạn đồng niên ngay trước kỳ thi vào THPT năm 2016. Để cho có chút liên quan đến đối tượng giao lưu, tôi đã đưa ra bài toán « Thi học sinh giỏi Vinschool ».

Nội dung của bài toán đó như sau : « Cụm các trường Vinschool tại Hà Nội tổ chức thi học sinh giỏi khối 9 năm 2020. Vinschool lúc này có trường tại tất cả các quận của Hà Nội. Điểm đặc biệt của năm đó là quá nửa thí sinh là học sinh của Vinschool Times City. Vậy điểm thi duy nhất nên đặt tại đâu để hạn chế việc các thí sinh phải vất vả đi lại ? Giả thiết rằng việc di chuyển từ nơi ở đến trường mình đang học của tất cả các thí sinh đều không đáng kể ».

Thực ra, đây là một bài toán được tôi chế lại từ bài toán vui « Bố già nào đúng ? » mà GS Nguyễn Tiến Dũng với nick name Facebook là Tien Zung Nguyen đăng ngày 8 tháng 12 năm 2015 trên trang cá nhân của mình1. Trong phần bình luận tại status này chưa thấy có lời giải nào thỏa đáng. Thậm chí có người còn đưa ra những ý tưởng phức tạp như « điểm cân bằng của hệ vector » hòng tìm ra lời giải. Cá nhân tôi thấy rằng đây là bài toán thú vị, vì dù không quá dễ nhưng để giải được không cần phải có kiến thức cao siêu. Và điều quan trọng hơn ở chỗ bài toán này rất có « chất toán ». Chất toán ở đây tự nhiên đến mức mà tôi không chắc là tác giả của phiên bản gốc đã nghĩ đến khi tung lên mạng bài toán vui này. Tôi không dùng bài toán gốc mà chế đi một chút để bớt hình ảnh « xã hội đen » và làm cho bài toán gần gũi hơn các bạn học sinh trường Vinschool.

Đáp án của bài toán này là chọn trường Vinschool Times City – nơi có hơn một nửa số thí sinh dự thi – làm điểm tổ chức thi lý tưởng. Nếu nghiên cứu đề bài một chút, chắc nhiều bạn cũng sẽ có dự cảm đúng về kết quả này. Các bình luận về bài toán gốc là minh chứng cho khẳng định trên. Nhưng dự cảm là một chuyện, còn giải quyết thấu đáo bài toán lại là một vấn đề khác. Nói đến đây, có thể có bạn sẽ thắc mắc là làm thế nào để có dự cảm đúng được. Đó chính là sự nhạy cảm toán học được hình thành từ kiến thức thu nạp, kinh nghiệm tích lũy và cả… khả năng thiên bẩm nữa ! Sự nhạy cảm này khác với phỏng đoán vu vơ, vì nó có cơ sở. Nhưng những cơ sở đó dường như đang lẩn khuất ở tầng vô thức nên chưa đủ tường minh để có thể thuyết phục hoàn toàn chính bản thân mỗi chúng ta. Tưởng chừng như mâu thuẫn nhưng chính điểm mông lung đó lại đầy chất toán. Bởi nếu mọi cái đều rạch ròi rõ ràng rồi thì chủ yếu chỉ là TÍNH chứ đâu còn nhiều chất TOÁN. Bạn có thể miệt mài ngồi luyện kỹ năng giải phương trình bậc 2 và hài lòng vì mình đã thành thạo để giải quyết mọi bài toán dạng này. Nhưng quá trình nặng về TÍNH đó sẽ không có được niềm vui vỡ òa khi mình « bỗng nghĩ ra » một đường kẻ phụ độc đáo để giải quyết một bài toán hình học chẳng hạn. Và đương nhiên đã là dự cảm thì cũng phải có lúc đúng lúc sai. Nếu đúng thì thật tuyệt ! Còn nếu đã chứng minh được dự cảm của mình là sai thì chúng ta buộc lòng phải tìm hướng đi khác để giải quyết bài toán.

Thực ra cách giải bài toán này không khó. Toán học thường là sự trừu tượng hóa, mô hình hóa cuộc sống thực tế. Ta hãy giả sử thành phố Hà Nội là một mặt phẳng. Các trường Vinschool đặt tại từng quận là những điểm khác nhau. Điểm xuất phát của các học sinh cũng chính là những điểm này vì đề bài giả thiết việc di chuyển từ nơi ở đến trường học là không đáng kể. Bài toán khi đó trở thành tìm điểm nào đó (vị trí tổ chức thi) sao cho tổng các đoạn thẳng nối vị trí xuất phát của từng thí sinh đến điểm đó là nhỏ nhất. Chúng ta sẽ ghép mỗi thí sinh không phải là học sinh của trường Times City với một thí sinh của trường Times City. Cuối cùng sẽ dư ra một nhóm các thí sinh là học sinh của trường Times City không được ghép cặp, vì hơn một nửa tổng số thí sinh là học sinh của trường Times City. Với mỗi cặp thí sinh được ghép, bất cứ điểm tổ chức thi nào nằm trên đoạn thẳng nối TL là trường Times City với CL là trường còn lại đều khiến cho tổng đoạn đường mà 2 thí sinh phải di chuyển chính bằng độ dài đoạn TC-CL. Nếu ta chọn một điểm khác ký hiệu là DK nằm ngoài đoạn TC-CL, thì tổng hai đoạn thẳng TC-DK và CL-DK tượng trưng cho quãng đường phải di chuyển của 2 thí sinh trong cặp sẽ luôn lớn hơn chiều dài đoạn TC-CL theo bất đẳng thức tam giác. Vậy điểm tổ chức thi lý tưởng cho từng cặp thí sinh (1 của trường Times City và 1 của trường khác) phải nằm trên đoạn thẳng nối trường Times City và trường còn lại. Dễ dàng nhận thấy, tất cả các cặp được xét cùng có một điểm thi chung lý tưởng là trường Times City. Đối với các bạn thí sinh trường Times City bị dôi da không được xếp cặp thì trường của họ chính là điểm lý tưởng nhất vì không phải di chuyển. Vậy trường Times City chính là điểm tổ chức thi lý tưởng cho tất cả các nhóm thí sinh được phân tách và đó chính là đáp án của bài toán của chúng ta.

Vinschool

Giao diện phần mềm Flash minh họa lời giải bài toán “Thi học sinh giỏi Vinschool”

Trong quá trình giải quyết bài toán trên, chúng ta đã mô hình hóa. Và một trong những đặc trưng của mô hình hóa là đưa ra những giả thiết để đơn giản hóa một cách hợp lý các vấn đề cần giải quyết. Giả thiết của chúng ta là việc đi lại giữa các điểm là hoàn toàn thuận lợi nên cách di chuyển tốt nhất giữa 2 điểm là theo đường thẳng. Nhưng thực tế không phải như vậy. Chẳng ai đi học từ nhà đến trường theo đường chim bay, vì chúng ta không phải là chim và cũng không phải là siêu nhân có khả năng đi xuyên tường. Vậy khi lưu tâm đến điều kiện thực tế thì liệu có ảnh hưởng gì đến kết quả bài toán hay không ? Mô hình toán vốn chặt chẽ nhưng đơn giản hơn cuộc sống thực tế. Vì vậy, khi áp dụng vào thực tế đa dạng cũng cần có độ mềm dẻo và linh hoạt nhất định. Trong mô hình toán, giải pháp tối ưu cho mỗi cặp thí sinh (1 thí sinh trường Times City và 1 thí sinh trường khác) chính là mọi điểm trên đoạn thẳng nối 2 trường này kể cả hai đầu mút. Trong thực tế, giải pháp tối ưu chính là mọi điểm trên con đường thuận lợi nhất giữa 2 trường. Thực tế, nếu có một điểm nào khác ngoài con đường trên mà tổng 2 đoạn đường đến đó là giải pháp thuận lợi hơn thì con đường ban đầu không thể là con đường thuận lợi nhất. Sự linh hoạt ở đây là chúng ta cần hiểu rằng, giữa 2 điểm chỉ có một đường đi ngắn nhất chính là đoạn thẳng nối 2 điểm, còn giữa 2 vị trí thì có thể có nhiều hơn 1 con đường thuận lợi nhất nhưng dứt khoát không có con đường nào thuận lợi hơn con đường (hay những con đường) đó. Như vậy, việc giả định làm bài toán trở nên đơn giản hơn mà không ảnh hưởng đến kết luận cuối cùng của bài toán. Thế mới gọi là giả định hợp lý !

Chỉ qua một bài toán vui, chúng ta cũng phần nào cảm nhận được sự thú vị của toán học. Toán học là sự kết tinh của lý trí nhưng không phải là không có chỗ cho sự nhạy cảm tinh tế. Muốn giải quyết các vấn đề của cuộc sống, toán học dù xuất phát từ chính cuộc sống thực tế sẽ phải trừu tượng hóa thực tế để gạt đi những cái rườm rà, không bản chất nhằm tìm ra quy luật của cuộc sống. Có lẽ vì vậy mà Newton đã từng nói : « Không có gì gần với thực tế hơn là một lý thuyết đẹp ! ».

1 GS Nguyễn Tiến Dũng hiện đang giảng dạy tại ĐH Toulouse, CH Pháp. Ông đã từng giành HCV Olympic Toán Quốc tế khi mới 14 tuổi. Bạn đọc tò mò về bài toán gốc có thể tham khảo tại địa chỉ : https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=10204960226437875&id=1607667894.