Category: Sputnik Newsletter

Toán diễn giải vũ trụ, hay thiên nhiên cưỡng buộc toán ?

Published / by admin

(Bài viết cho Sputnik Newsletter số 04-2017)

Phạm Hi Đức

« Mundum regunt numeri » Euler đã từng quan niệm là thế giới bị các con số quản lý. Vậy sao ? Có thể nào quan điểm ngược lại, là toán bị dẫn dắt bởi vật lý thiên nhiên, gồm cả con người nữa, mới là đúng sự thật ?

Mặc dù Toán là môn trừu tượng và tìm kiếm cái luật vô hình đằng sau cái hữu hình, không ai phủ nhận được là rất nhiều khái niệm toán bắt nguồn từ đời sống hàng ngày. Chiêm tinh và kiến trúc đã khiến người Ai Cập và người Ba Bi Luân khai phá hình học. Và nghiên cứu máy móc bằng cơ học đã giúp cuộc Cách mạng Công nghệ của thế kỷ 17 cho chúng ta giải tích vi phân.

Trong thuyết lượng tử, những khái niệm toán học tiềm ẩn rất mạnh mẽ, mặc dù hàng ngày người ta không trải nghiệm được các hạt phân tử. Trong thế giới kỳ lạ của lượng tử, các vật thể thể hiện như là ở hai hay nhiều nơi cùng một lúc. Chỉ có sức mạnh của toán xác suất có thể diễn tả sự việc này. Không những toán trong tình huống này là một cách mô tả thiên nhiên một cách đầy đủ và thích ứng hơn tất cả các cách trước đây, mà ngược lại, vật lý lượng tử lại còn đem lại cho toán những thách thức rất bao quát và sâu xa để tiếp tục được khai triển. Các nhà nghiên cứu hy vọng khi ta hiểu và thấm nhuần cấu trúc thống nhất của thuyết lượng tử, nó sẽ giúp khai phá một ngành toán mới, « toán lượng tử ».

Trong vật lý cơ học cổ điển, người ta tính sự chuyển động của một thể vật đi từ điểm A đến một điểm B. Ví dụ, chuyển động sẽ đưa vật đó đi qua tất cả các điểm trên một quỹ đạo « tối ưu », một geô đê zích, theo một lộ trình ngắn nhất trong vũ trụ chứa đựng hai điểm đi và đến. Nhưng với khái niệm lượng tử thì khác. Thay vì chỉ một đường quỹ đạo, vật lý lượng tử xét toàn thể tập hợp của tất cả các lộ trình khả thi đi từ A, mặc dù nó dài hơn hay khúc khuỷu hay ngoặt ngoẹo hay vòng qua nửa vũ trụ trước khi bay về điểm B. (Đây là cái, mà nhà vật lý Richard Feynman ám chỉ qua cụm từ « tổng số các lịch sử »). Sau đó, theo cách tính toán của định luật lượng tử, mỗi lộ trình sẽ được phân cho một tỷ trọng diễn tả xác suất của là vật thể ta đang theo dõi, sẽ « chọn » bay theo lộ trình ấy. Như thế, phương án thường ngày ta gặp qua vật lý của Newton chỉ giản đơn là một phương án có xác suất cao nhất trong tất cả, chứ không phải phương án độc nhất. Cách nhìn vũ trụ như vậy, có thể rất phong phú về mặt triết lý, nhưng nó đem gì cụ thể cho toán học ? Ta hãy xem hai ví dụ sau đây.

Sự kiện I : Sự bất ngờ khi tính toán số đường cong độ N trong không gian Calabi-Yau

Lý thuyết dây là một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực hấp dẫn (theo Wiki tiếng Việt). Theo thuyết này, vạn vật trong nằm trong một vũ trụ không phải 3 chiều, mà 6 chiều hệ quả khi giải các phương trình hấp dẫn của Einstein. Các đáp án của các phương trình đó là những không gian gọi là Calabi-Yau, trong đó các chiều thặng dư ngoài 3 chiều quen thuộc được « cuộn » lại rồi « cất giấu » trong các hóc hiểm của không gian này.

Từ thế kỷ 19, người ta chứng minh rằng trong không gian Calabi-Yau đơn giản nhất, gọi là quintic, ta đếm được tổng số đường cong độ 1 (các đường thẳng) là 2875. Mãi đến năm 1980 người ta mới tính ra số đường cong độ 2 là 609 250. Năm 1990, một nhóm nhà vật lý chuyên về Thuyết dây cộng tác với các nhà toán hình học để tính số đường cong độ 3. Các chuyên gia hình học nghĩ ra một thuật toán và thiết kế một lập trình phức tạp để tính. Khi họ đưa con số cho các nhà vật lý, thì con số bị các nhà vật lý cho là sai. Khi kiểm tra lại, quả nhiên trong lập trình có nhầm lẫn. Nhưng sao các nhà vật lý lại « đón đầu » được các nhà hình học nhỉ ? Trong cộng đồng khoa toán, tất cả bị sốc khi khám phá ra là thách thức đếm trong không gian Calabi-Yau đã được các nhà vật lý giải đáp, không những đến độ 3, mà cả đến độ N bất kỳ, họ cũng tim ra cách tính.

Lý do là các nhà vật lý đã chuyển bài toán hình học thành một bài toán vật lý lượng tử. Do đó tất cả các độ N, (cũng như các sóng đứng với một số bất kỳ N điểm nút đều tuân theo một phương trình duy nhất) đã được phối hợp vào một phương trình tổng thể, mô tả làn sóng lan truyền qua không gian Calabi-Yau, và các nhà vật lý đã áp dụng phương thức giải theo cách « tổng số các lịch sử » nói trên. Mô hình một « dây », nhưng rung động theo các đường cong với tất cả các « độ » trong cùng khoảng khắc, đã là một ví dụ mà vật lý tạo ra một « ngành » toán cá biệt với tất cả định lý, chứng minh, đáp án, thuật toán của nó. Đây cũng là một trường hợp ứng dụng của « máy tính lượng tử » (quantum calculator)

SN4_PHD4a
Một không gian Calabi-Yau giản dị nhất : quintic (hình do wikipedia)

Sự kiện II : Độ cong của không gian và vật lý tương đối

Một ví dụ khác đã thể hiện giữa hình học và vật lý từ lâu đời hơn : đó là khi các phương trình của Einstein về sức hấp dẫn của các vật thể thiên văn tương đương với bài toán hình học mô tả chuyển động trên một mặt cong. Cái đối xứng giữa vật lý (sức hấp dẫn) và hình học (mặt cong không gian) khó chấp nhận cho những ai nghĩ là vũ trụ vật chất chỉ có một thực tế, và do đó chỉ có một cách độc nhất diễn tả qua toán.

Không kém khó hiểu là sự đối xứng giữa một hạt phân tử và hàm sóng của nó. Ngay từ đầu thế kỷ trước, các nhà vật lý học đã không ngớt tranh luận về cái nghĩa sâu xa của các phương trình chính họ đã khám phá ra : Niels Bohr, Wolfgang Pauli, Max Planck, Louis de Broglie … Con mèo (chết hay không chết) của Schrödinger, sự đo đạc chính xác không thể đạt, của cả vận tốc và vị trí cùng một lúc, của một vật theo định luật Heisenberg, tính cách của các phân tử, vừa là vật chất vừa là làn sóng di chuyển theo Loúi De Broglie … bấy nhiêu trường hợp mà 2 loại toán khác nhau tìm thấy sự đối xứng lẫn nhau nhờ xuyên qua cùng một thự tế vật lý.

Tóm lại, qua các lý thuyết lượng tử và tương đối, ta thấy toán và vật lý giúp nhau luân phiên đặt câu hỏi và đem đến cách giải.

* * *

Trong lãnh vực cổ điển hơn, ta cũng có tình trạng có hai hệ thống toán mô tả một thực tế hiện hữu duy nhất. Và ta cũng có một hình thức « tổng số các lịch sử » để tính ra con đường tối ưu. Cột trụ quan trọng của kết nối giữa toán và cơ học này là phép tính biến phân (Variational calculus).

Một cách hiểu toán biến phân là hoán chuyển các hàm số thực lên các « hàm của hàm số ». Toán biến phân là cách « tính đạo hàm » trên những hàm f (thí dụ giá du lịch) của các hàm u để kiếm ra những đáp án u* là hàm số tối ưu hoá hàm f.

Chẳng hạn giữa 2 điểm A và B ở toạ độ x1x2 ta kiếm tất cả các hàm số y(x), có đạo hàm bậc 2 liên tục. Ta kiếm hàm y* (lộ trình, kể cả cách điều hoà vận tốc y’*) tối thiểu hoá giá của cuộc du lịch gồm chi phí xăng, chọn đường dài ngắn, lái nhanh lái chậm v.v…

Nếu f là một hàm tối ưu hoá J thì ta có phương trình gọi là Euler-Lagrange :

Tại đây ta tìm thấy điểm liên kết tất cả những gì chúng ta bàn về « tổng số các lịch sử » trước : Phương trình Euler-Lagrange xem xét tất cả các « lịch sử » (khi x là thời điểm) hay nói cách khác, các « quỹ đạo » hay « lộ trình » f(x) (khi x là toạ độ), nhích từng ly từng tí dx trên mỗi lộ trình f(x) và xét soi xem cái giá phải trả L khi ta thay đổi một chút hàng ngang f có được đền bù bằng một một lợi thế d(L/f’) về hàng dọc không ? Khi mà tại mỗi toạ độ x điều kiện này thoả, thì tập hợp tất cả các điểm x chính là lộ trình tối ưu.

Chỉ nhận xét sơ sơ qua, ta thấy vật lý dựa trên toán biến phân này, là một loại tư duy nhìn tổng thể tất cả cục diện (tất cả các biến khả thi) rồi mới tim ra tối ưu. Nó khác vật lý Newton, chỉ chú trọng vào từng vị trí một, từng véc tơ lực trong một thời điểm đứng, không liên quan gì đến lúc trước lúc sau của thời điểm đó.

Khi vào lãnh vực kinh tế tài chính, chúng ta cũng có ứng dụng của phương trình Euler-Lagrange. Nó diễn tả tình trạng tiêu thụ tối ưu, khi khoản vốn mà chúng ta để dành vào đầu tư (bằng cách nhịn tiêu xài hôm nay), sẽ đem đến ngày mai sự hài lòng trong đúng tỷ lệ mà ta chịu thiệt hôm nay.

Trong cuộc đời chúng ta, có dễ tính toán như trong toán học không ? Có thể dùng phép tính biến phân mà chi li từng giây phút, mình tự mặc cả với chính mình để phân chia sự thụ hưởng hôm nay với sự trả giá ngày mai cho đến cuối đời một cách tối ưu không ?

Việc đó đòi hỏi ta nhìn được suốt tương lai cuộc đời, như một tờ giấy báo trải dài dưới mắt, và có khả năng nhìn các việc quá khứ hiện tại vị lai cũng rõ ràng minh bạch như nhau. Nghĩa là ta làm chủ được thời gian …

Cách đây một số Sputnik, tôi biên một bài về cách Toán học trình bày thời gian (qua Emile Borel, Kolmogorov, và Nicole El Karoui). Bài đó nhấn mạnh về thời gian được xây dựng trong toán học như một chuỗi sụ kiện, mà phần nằm trong tương lai ta chỉ tiếp nhận được qua những xác suất của nó.

Đăng xong thì tôi đi xem phim viễn tưởng mới ra « Arrival » (« Cuộc đổ bộ bí ẩn »). Xem xong, xúc động mạnh vì chuyện tình cảm mẹ con trong đó lồng vào câu hỏi « nếu bạn biết sinh con, mà khi nó đến 17 tuổi, nó sẽ bỏ bạn mà đi một cách thảm thiết, thì bạn có sinh con không ? ». Câu chuyện nảy ra ngay từ cách dựng phim, ngay 5 phút đầu (tôi không spoil phim đâu) vì người ngoài hành tinh đem đến một cách vượt thời gian khá bất ngờ. Cách đặt vấn đề thời gian vừa đưa đến kết quả trái ngược với cách tôi trình bày trong bài báo Sputnik, mà cũng lại hoàn toàn … phù hợp với nó !

Nhắc lại, định nghĩa thời gian, theo ngành Giải tích ngẫu nhiên ứng dụng vào tài chính, đã được xây ra để diễn tả từng chuỗi các sự kiện khả dĩ đo được (theo nghĩa có thể phân định một « measure » trên tập hợp đó), để một mặt, ta ước lượng các xác suất của các sự kiện tương lai, mặt khác, khi thời điểm hiện tại biến tương lai thành quá khứ, dần dà khắc vào đồng vào đá, các sự kiện quá khứ để không ai thay đổi được. Như vậy thì rõ ràng, ai làm sao đi ngược dòng thời gian được ? Hệ quả tất yếu là không ai biết được tương lai.

Thế mà trong thiên nhiên quen thuộc của chúng ta có những sự việc cứ như là có những thể vật biết trước tương lai chúng sẽ ra sao : Nhìn nước mưa chảy trên một mặt dốc khúc khuỷu, để ý mà xem, nó sẽ luôn luôn chảy theo đường ngắn nhất đến cùng, mặc dù đôi khi lúc đầu dòng nước có vẻ đi theo một con đường khác hơn là theo độ dốc nhất. Làm sao mà nó biết, trước khi chảy đến chân mặt dốc ở thời điểm t = T, nó sẽ phải tối thiểu hóa

?

Phim đem cho tôi một cơn nóng lạnh vì nhận diện vấn đề này. Tôi đã phải bỏ 5€ mua cuốn sách căn bản của phim trên Amazon, và thích thú khi biết tác giả Ted Chiang đã có bằng Computer Science của Brown. Chuyện trong sách có nhiều trang để đi vào chi tiết, đặt vấn đề dơn giản hơn với sự kiện tia ánh sáng khúc xạ khi chiếu từ không khí vào trong nước. Làm sao nó biết phải theo định luật Snell

Và định luật này là một hệ quả tất yếu của việc con đường đi của tia sáng là con đường ngắn nhất, và nó cũng đi từ phép tính biến phân đã đề cập trên kia.

SN4_PHDb

Con người và giọt nước khác và giống nhau thế nào ? Toán học có cho ta câu trả lời không ?

Theo tôi, và trên căn bản các điễu trình bày đoạn trên, toán học đơn độc thì không thể, nhưng toán với kinh tế và vật lý thì rất có thể có …

Phạm Hi Đức

Please follow and like us:

Hội thảo về sách toán cho học sinh

Published / by admin
Thông báo số 3: Hội thảo về sách toán cho học sinh.
 
Sáng thứ bảy 15/04 tại hội trường của Trường THCS Archimedes, Hanoi.
 
Do Sputnik Education chủ trì, với sự giúp đỡ tổ chức của trường Archimedes và của nhà báo Nguyễn Ngọc Diệp.
 
Một số diễn giả đã chắc chắn sẽ có báo cáo: Vũ Hữu Bình (nhà giáo nhân dân), Chu Cẩm Thơ, Đỗ Đức Thái, Trần Nam Dũng, Bùi Việt Hà (chuyên gia tin học cho nhà trường), Trần Nam Dũng, Nguyễn Tiến Dũng.
 
Nhân dịp hội thảo này, tôi sẽ tặng (từ quỹ riêng của mình) hơn 100 sách Sputnik cho các khách mời, trong đó có các quyển: “Toán học và nghệ thuật”, “Hoàng tử bé”, “Câu đố xứ Canterbury”, v.v.
 
Ngoài ra Sputnik sẽ có bán sách với giá đặc biệt (chỉ dành cho riêng hôm đó), có kèm chữ ký tặng cho mọi ngừoi tham dự.
 
Tham dự miễn phí nhưng cần đăng ký để ban tổ chức chuẩn bị.
Xin mời mọi người quan tâm ghi tên đăng ký tham dự ở link sau:
 
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfO_Mm74wXvJhyd_mr283SR_IjNB0p8jdC7CGDuk8odvLHdvA/viewform
 
Ai cần giấy mời chính thức có thể gọi điện hay viết thư cho Sputnik để xin giấy mời.
Please follow and like us:

Bài toán con kiến chui lỗ (TST 2017)

Published / by admin

Bình luận cho toàn bộ TST 2017 sẽ được đăng trên Sputnik Newsletter số 4 (04/2017), mời các bạn đón đọc!

(Nguyễn Tiến Dũng)

Các thầy Trần Nam Dũng và Ngô Văn Minh có nhờ tôi bình luận về bài toán số 1 của cuộc thi chọn đội tuyển IMO2017 của Việt Nam. Đề bài như sau:

Bài 1. Cho 44 cái lỗ phân biệt trên một cái rãnh là đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên từ một cái lỗ và bò đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi T là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống các cái lỗ. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và |T| ≤ 45. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến nào đó không gặp nhau.

Gợi ý lời giải: Có gì liên quan giữa các số 44, 45 và 2017? Dễ thấy 44 \times 45 = 1980 < 2017, nên có thể đoán đây là mấu chốt bài toán?

Vậy tai sao lại dùng tích? Bởi vì có nhiều nhất là từng đó điểm (vị trí, thời gian chạm lỗ khi lên hoặc xuống lỗ) trên mặt phẳng toạ độ. Ta vẽ trên mặt phẳng toạ độ các đồ thị đường đi của các con kiến, mỗi đồ thị là 1 đoạn thẳng nối 2 trong số các điểm trên. Tất cả các đoạn thẳng đó đều có hướng khác nhau (vì vận tốc các con kiến khác nhau). Hướng ở đây hiểu là góc so với đường nằm ngang modulo pi.

Câu hỏi đặt ra bây giờ là nếu hai đoạn một đều có điểm chung (hai con kiến nào cũng có gặp nhau) thì có nhiều nhất là bao nhiêu đoạn thẳng?

Ta có thể sắp xếp thứ tự các đoạn thẳng theo thứ tự vòng tròn theo góc của chúng.

Cố định 1 đoạn đầu tiên, từ điểm A1 đến điểm A2. Đoạn thứ hai có hướng quay về “bên phải” so với đoạn thứ nhất, nên phải có thêm ít nhất 1 điểm mới A3 (tức là hoặc là A1A3 với A3 nằm bên phải A1A2, hoặc A3A2 với A3 nằm bên trái A1A2, hoặc A3A4 (hai điểm mới) nằm ở hai bên của A1A2). Thêm đoạn thứ 3 phải thêm ít nhất 1 điểm mới, trừ trường hợp tạo thành 3 đoạn A1A2, A1A3, A2A3. Cứ như thế: thêm 1 đoạn thì cần thêm ít nhất 1 điểm mới, trừ khi thêm đoạn cuối cùng thì dùng được 2 điểm cũ. Như vậy để có n đoạn đôi một có điểm chung thì cần ít nhất n điểm. Với n = 44 lần 45 thì có nhiều nhất là từng đó con kiến đôi một có gặp nhau. Vì 2017 lớn hơn 44 lần 45 nên có hai con kiến không gặp nhau.

Thay vì nói đến hướng modulo pi, có thể chứng minh bằng quy nạp kiểu khác cho dễ hình dung hơn: Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng nếu có n điểm trên mặt phẳng thì không tạo được quá n đoạn thẳng với các đỉnh là các điểm đó sao cho đôi một có điểm chung và không có hai đoạn nào song song hay đè lên nhau.

Với n = 2, 3: hiển nhiên

Từ n-1 đến n:

Nếu có 1 điểm với không quá 1 đoạn xuất phát từ điểm đó, thì xoá điểm đó (và đoạn đó) đi, đưa về trường hợp n-1 điểm.

Giả sử bây giờ đỉnh nào cũng có ít nhất 2 đoạn xuất phát. Nếu có đỉnh A có 3 đoạn xuất phát thì sẽ “có vấn đề”: chẳng hạn là AB, AC, AD. Nếu BCD chứa A bên trong thì đoạn thứ hai từ B không thể cùng cắt AC và AD. Nếu BCD không chứa A bên trong thì ta có chẳng hạn tia AC nằm giữa hai tia AB và AD. Khi đó đoạn thứ hai từ đỉnh C không thể cùng cắt AB và AD. Như vậy từ mỗi đỉnh chỉ có đúng 2 đoạn, suy ra số đoạn bằng đúng số đỉnh trong trường hợp này.

Please follow and like us:

Số phức ứng dụng vào đâu?

Published / by admin

Nguyễn Tiến Dũng

Có giáo viên THPT hỏi tôi về chuyện làm sao giới thiệu cho các học sinh về ứng dụng của số phức? Số phức thì có ứng dụng gì?

Đây là một câu hỏi rất chính đáng. Bởi kho thời gian của chúng ta có hạn, chúng ta phải ưu tiên học những thứ cần thiết, có nhiều lợi ích. Nhưng trong sách giáo khoa hiện tại không nói đến lợi ích của số phức. Bản thân giáo viên cũng không biết số phức dùng làm gì, thì làm sao học sinh thấy nó có ý nghĩa được. Hệ quả tất yếu là nhiều người lên tiếng đòi bỏ số phức ra khỏi chương trình học phỏ thông.

Vậy số phức dùng để làm gì? Nó liên quan gì đến thế giới tự nhiên và cuộc sống của ta?

Nếu như nói “âm ba con gà” hay “hai phần năm con gà” còn có nghĩa (tuy rằng hình dung “con gà âm” thật khó, nhưng có thể coi “gà âm” là “gà vay nợ” hay “gà hao hụt”), thì nói “3i con gà” hẳn là vô nghĩa. Số ảo i không dùng để đo độ lớn của các đại lượng được. Thế thì nó đo cái gì, nó xuất hiện ở đâu? Trong tự nhiên có cái gì mà bình phương lên lại bằng -1 không?

Câu trả lời là có: phép quay 90 độ có bình phương bằng -1!

Quay hai lần 90 độ thì bằng quay 180 độ, mà quay 180 độ có nghĩa là lấy điểm ngược lại, cũng có nghĩa là nhân với -1. Vậy ta có thể nói rằng số ảo i đại diện cho sự quay, sự chuyển hướng 90 độ (quang điểm hay trục nào đó) trong tự nhiên! Còn số phức nói chung thì là một phép tổng hợp vừa quay vừa co giãn (phép biến đổi bảo toàn góc).

Chính vì “i chẳng qua là quay 90 độ” nên số phức rất hiệu nghiệm trong hình học phẳng và trong lượng giác. Nhiều vấn đề của hình học phẳng rất phức tạp, hay nhiều công thức lượng giác phức tạp,  trở nên “ngon ăn” hơn hẳn khi sử dụng số phức để giải quyết. Sách dạy về số phức nên đưa các ứng dụng hình học và lượng giác này làm ví dụ minh hoạ.

Ngoài hình học phẳng, có thể kể ra vô số các vấn đề khác trong toán (ở mức độ cao hơn), mà nếu không có số phức thì cũng “chưa chết hẳn”, nhưng có số phức thì trở nên đẹp đẽ dễ dàng hơn nhiều, ví dụ như:

  • Phân tích đa thức ra thừa số (nhơ có tính chất đóng của trường số phức nên phân tích được dễ dàng)
  • Tính toán các tích phân
  • Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúc toán học, v.v.

Nói theo nhà toán học Jacques Hadamard thì “đường đi ngắn nhất từ thực đến thực là qua phức”. (Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe). Trong toán học, hiện tượng rất hay gặp là để phân loại những cái gì đó trên trường số thực, người ta phức hoá nó, phân loại trên trường số phức trước cho đơn giản, rồi sau đó mới quay lại trường số thực.

Trong vật lý ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều. Bời vì vật lý liên quan đến hình học, có nhiều đại lượng không chỉ có độ lớn mà còn có hướng. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả điện xoay chiều (là thứ điện ta dùng chủ yếu ngày nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.

Đặc biệt là trong vật lý lượng tử, ngay khái niệm “sóng” để mô tả vật chất và phương trình Shroedinger mô tả biến đổi của sóng đó theo thời gian đã viết bằng số phức. Không ai có thể hình dung  nổi vật lý hiện đại mà thiếu số phức. Điều đó không có nghĩa là thế giới của chúng ta là thế giới phức, mà chẳng qua là trong đó có nhiều cái nó quay, mà đã quay thì biểu diễn bằng số phức nhiều khi tiện hơn hẳn là bằng số thực!

Please follow and like us:

Chuẩn bị cho Sputnik Newsletter Số 3

Published / by admin

SN2-2017CoverSau hai tuần ra mắt Số Tết Đinh Dậu (Số 2-2017) và được bạn đọc nhiệt tình đón đọc, chúng tôi đang chuẩn bị ra mắt Số 3 của tạp chí điện tử miễn phí về giáo dục Sputnik Newsletter, với các mục quen thuộc và thêm nhiều mục mới, trong đó có

  • Toán – tin – tiền(Phạm Hi Đức)
  • Dạy học cho … máy tính (Nguyễn Hùng Sơn)
  • Vấn đề toán học (Nguyễn Tiến Dũng)
  • SCRATCH: Những bài học lập trình đầu tiên (Bùi Việt Hà)
  • Bé học toán khi chơi đồ hàng (Chu Cẩm Thơ)
  • Chuyên mục STEM (Mr. Index & cộng sự)
  • Toán 6D (Ngô Văn Minh)
  • Sách giáo khoa thế hệ Sputnik
  • Giải bài kỳ trước & đố vui kỳ này
  • Học tiếng Anh cùng sách song ngữ
  • Bảy sai lầm lớn hay mắc phải của các bậc cha mẹ
  • v.v.

(Do khuôn khổ của Newsletter phải giới hạn là 100 trang khổ A5 nên có những bài dự kiến đăng số trước phải chuyển bớt sang số sau, tương tự như với các tạp chí khác)

Xin cảm ơn sự ủng hộ của các bạn đọc và các cộng tác viên, khiến tạp chí ngày càng trở nên phong phú, chất lượng tốt hơn, có ích hơn cho học sinh và các thầy cô giáo! Mọi liên lạc, bài vở xin gửi về newsletter@sputnikedu.com

Hai số đầu tiên của Newsletter có thể xem tại đây: Số 1 & Số 2.

Please follow and like us:

Nàng toán hay nàng thơ?

Published / by admin

Nguyễn Tiến Dũng

Đây là một bài viết trong Sputnik Newsletter Số 2 (02-2017), và là trích đoạn từ Chương 6 của quyển sách Toán học và nghệ thuật. Xin mời tải toàn bộ số báo (bản PDF) về để xem các bài khác trong đó.

toantho

Nhà toán hay nhà thơ?

A Book of Verses underneath the Bough,
A Jug of Wine, A Loaf of Bread — and Thou
Beside me singing in the Wilderness —
Oh, Wilderness were Paradise enow!

(enow = enough, theo cách viết ngày xưa của tiếng Anh)

Bốn câu trên là một bài thơ của Omar Khayyam viết bằng tiếng Persia (Iran) từ thế kỷ XI-XII, được  Edward Fitzgerald (1809-1883) dịch sang tiếng Anh vào nửa sau  thế kỷ XIX. Tạm dịch sang tiếng Việt:

Một cuốn sổ thơ dưới tán cây,
Chén rượu, mẩu bánh với nàng đây
Bên tôi đàn hát nơi hoang dã —
Thiên đường  hiện hữu chốn hoang này!

Ông Omar Khayyam (1048-1131) người Iran là một trong những nhà thơ lớn nhất của của mọi thời đại.  Những bài thơ ruba’i (một thể thơ 4 câu  tiếng Persia) được dịch ra nhiều thứ tiếng khác nhau, và được ưa chuộng ở khắp mọi nơi trên thế giới. Từ Nga cho đến Mỹ, người ta thường xuyên trích dẫn các vần thơ và các câu nói của ông, bởi nó vừa trữ tình, vừa mang triết lý sâu sắc. Dịch giả Thái Bá Tân và  nhiều người khác cũng đã từng dịch thơ ông sang tiếng Việt.

PersianScholars
(Khu tượng trước Tòa nhà Liên Hiệp Quốc tại Vienna tôn vinh bốn học giả Iran:  Khayyam (bên phải), Rhazes, Avicenna và Biruni.)

Còn đây là một bài thơ khác của Khayyam, do nhà thơ Jean Lahor (tên thật là Henri Cazalis, 1840-1909)  dịch sang tiếng Pháp:

Étreins bien ton amour, bois son regard si beau,
Et sa voix, et ses chants, avant que le tombeau
Te garde, pauvre amant, poussière en la poussière,
Sans chansons, sans chanteuse amie, et sans lumière.

Bản dịch tiếng Việt của Lê Ngọc Mai:

Hãy ôm siết nàng đi, chàng si tình tội nghiệp
Uống ánh mắt, lời ca, giọng nói yêu thương
Rồi một mai tro bụi chàng hóa kiếp
Dưới mộ sâu, chẳng bạn tình, bài hát, ánh dương

Không ai biết Khayyam đã làm bao nhiêu bài thơ ruba’i. Một bản dịch thơ ông sang tiếng Anh của Edward Henry Whinfield (1883)  gồm 500 bài. Ngoài ra còn rất nhiều bài khác, và cũng có rất nhiều bài mà người ta nghi ngờ không biết có phải ông làm không hay ai khác làm rồi gán cho ông.  Bởi lẽ, thế giới này có xu hướng gán cho những nhân vật nổi tiếng cả những thứ không thuộc về họ.

Trong số hàng triệu người biết đến thơ  Khayyam, có lẽ chỉ có một tỷ lệ nhỏ biết rằng ông đồng thời cũng là nhà toán học và thiên văn học xuất sắc nhất trong thời đại của mình. Vào năm 1070, khi mới 22 tuổi, ông đã viết một quyển sách
toán học rất quan trọng nhan đề Chứng minh của các vấn đề trong đại số, trong đó người ta đã tìm thấy “tam giác Pascal”
(các hệ số của “nhị thức Newton”) và phương pháp hình học để giải các phương trình đại số bậc 3 qua việc lấy giao điểm của  đường tròn với đường parabola.

KhayyamCubic
(Sách của Khayyam có chứa cách giải phương trình bậc 3.)

Khayyam cũng đã  đóng góp vào việc nghiên cứu hình học phi Euclid với một quyển sách viết năm 1077 nhan đề
Giải thích những khó khăn liên quan đến các tiên đề trong sách Cơ sở’ của Euclid. Trong quyển sách đó, ông đã chứng minh một số tính chất của các hình trong không gian phi Euclid (dù chưa biết rằng không gian phi Euclid có thực sư tồn tại hay không?).

Ở xứ Persia, Omar Khayyam nổi tiếng trước hết với tư cách một nhà thiên văn. Ông là người đã lập các bảng  thiên văn chi tiết (gọi là ephemerides, tính vị trí các “sao” trên trời), và đã tính được chính xác một năm mặt trời bằng 365,24219858156 ngày. Dựa trên tính toán đó, ông đã đề xuất một cách tính lịch, gọi là lịch Jalali, được vua Malik Shah thứ nhất (1055–1092, làm vua từ năm 1072) của Persia sử dụng làm lịch chính thức từ năm 1075. Cách tính lịch của Omar Khayyam còn chính xác hơn là lịch “Gregorian” (lịch mà chúng ta đang dùng hiện tại), do những người Thiên chúa giáo nghĩ ra 500 năm sau đó.

Không chỉ riêng Omar Khayyam, mà rất nhiều nhà toán học (hay khoa học tự nhiên nói chung) khác cũng có tâm hồn thi sĩ. Quyển truyện toán dành cho học sinh Ba ngày ở nước Tí Hon của nhà toán học Vladimir Levshin có nhắc đến một bài thơ bất hủ “Suy ngẫm buổi chiều về sự vĩ đại của Tạo hóa” bằng tiếng Nga của nhà bác học Mikhail Lomonosov, với đoạn đầu như sau (tạm dịch ra tiến Việt):

Lúc ban ngày mặt trời che khuất mặt
Đêm vũ trụ từ sâu thẳm hiện hình
Khi những tia nắng cuối cùng đã tắt
Màn đêm buông xuống bao phủ núi rừng
Vực thẳm mở ra, tràn đầy sao sáng
Số sao vô tận, vực thẳm vô cùng

OmarKhayyamMausoleum

(Lăng Omar Khayyam tại Nishapur (Iran) là một công trình kiến
trúc nghệ thuật đậm tính thiên văn, toán học và trữ tình.)

Nàng toán hay nàng thơ?

Những người từ trước đến nay vẫn coi là các nhà toán học thường khô khan sẽ không khỏi ngạc nhiên khi thấy những phát biểu sau của chính các nhà toán học:

Nhà toán học nào mà không phải là một nhà thơ theo nghĩa nào đó, thì không thể thành một nhà toán học hoàn hảo (… es ist wahr, ein Mathematiker, der nicht etwas Poet ist, wird nimmer ein vollkommener Mathematiker sein) – Karl Weierstrass (1815-1897), trong thư gửi Sofia Kovalevskaya, 27/08/1883.

Không thể trở thành nhà toán học mà không có tâm hồn thi sĩ. (It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul). — Sofia Kovalevskaya (1850-1891), học trò của Karl Weirstrass và là nữ tiến sĩ toán học đầu tiên của châu Âu.

Vậy tại sao các nhà toán học lại có “tâm hồn thi sĩ”? Đó là bởi vì toán và thơ có rất nhiều điểm giống nhau.

Toán và thơ đều hướng tới cái đẹp. Tất nhiên, chỉ có những bài thơ hay mới còn lại với thời gian. Trong toán cũng vậy.
Các công trình toán học được sàng lọc theo thời gian, chỉ có những gì đẹp đẽ, nhiều ý nghĩa mới trụ lại, trở thành kinh điển. Như nhà toán học  Godfrey H. Hardy (1877-1947) từng nói: “Không có chỗ đứng lâu dài cho các thứ toán học xấu xí“.

Toán và thơ đều là sáng tạo. Muốn sáng tạo phải có cảm hứng. Trong thơ, người ta nói ví von rằng cảm hứng do “nàng thơ” (muse) đem lại. Trong toán học, cảm hứng sẽ do “nàng toán” đem lại. Thật ra, nàng toán và nàng thơ cùng là một nàng, nếu có khác nhau thì chỉ là ở thời điểm và đối tượng phục vụ.

Trong toán học, kết quả của sự sáng tạo không chỉ là những định lý mới, mà còn có cả những ngành toán học mới được sinh ra theo thời gian. Trong thơ cũng vậy, những thể loại thơ mới cũng được sinh ra theo thời gian và ngày càng trở nên quen thuộc, chứ các nhà thơ không nhất thiết phải làm theo những thể loại cũ.

FermatMuse

(Bức tượng “Fermat và Muse” hài hòa, cân đối ở Toulouse. Ngoài “định lý lớn” và “định lý nhỏ Phéc-ma” trong số học,
Fermat còn là cha tổ của lý thuyết xác suất, phép tính biến phân và hình học giải tích.)

Toán và thơ đều đòi hỏi trí tưởng tượng phong phú, đầu óc cởi mở sáng tạo, và đều cần sử dụng thành thạo ngôn ngữ, nắm vững ngữ pháp, luật lệ của nó: ngôn ngữ của thơ dựa trên ngôn ngữ thông thường, còn ngôn ngữ riêng của toán dùng các ký hiệu, khái niệm đặc biệt nhưng cũng là một thứ ngôn ngữ dùng dể diễn đạt các ý tưởng.

Có một điểm giống nhau nữa, và là điểm đặc biệt quan trọng, giữa thơ và toán. Đó là sự cô đọng. Ít lời nhiều ý. Như nhà thơ Robert Browning (1821-1889) người Anh có nói: “Toàn bộ thơ là đặt cái vô hạn bên trong cái hữu hạn”. (“All poetry
is putting the infinite within the finite”). Triết gia Voltaire (1694-1778) cũng từng nói: “Một điểm ưu việt của thơ là nó
nói được nhiều điều hơn, với ít từ hơn, so với văn xuôi”. (“Un mérite de la poésie, c’est qu’elle dit plus que la prose,
et en moins de paroles que la prose”). Toán học cũng vậy, những khái niệm và định lý có thể rất ngắn gọn nhưng rất tổng quát, chứa đựng “cả vũ trụ” trong đó. Chính vì sự cô đọng mà để hiểu được toán hay hiểu được thơ là việc không phải lúc nào cũng dễ dàng.

Bài thơ về số Pi

Không chỉ có các nhà toán học thích làm thơ, mà các nhà thơ cũng có thể bị lôi cuốn bởi những điều kì diệu trong toán học. Ví dụ như chữ \pi (pi) là một chữ cái Hy Lạp “nhỏ bé”, nhưng số  \pi = 3.14159\hdots là một số vô tỷ, có viết nó mãi, ra cả ngoài tờ giấy, rồi ra cả ngoài vũ trụ, cũng không bao giờ hết được.

Điều này đã được Wislawa Szymborska (1923-2012), giải Nobel Văn học 1996, viết thành bài thơ nhan đề \emph{Pi} năm 1976. Dưới đây là bản dịch của Nguyễn Thái Linh từ tiếng Ba Lan sang tiếng Việt.

Số Pi đáng ngưỡng mộ biết bao. 

Ba phẩy một bốn một.

Mọi con số sau đều là số khởi đầu,

năm chín hai, bởi nó không bao giờ kết thúc.

Nó không để người ta nắm được sáu năm ba năm bằng mắt,

tám chín bằng tính toán,

bảy chín bằng trí tưởng tượng,

thậm chí ba hai ba tám bằng trò đùa, nghĩa là bằng so sánh

bốn sáu với bất cứ thứ gì

hai sáu bốn ba trong thế giới này hết.

Con rắn dài nhất trên đời kết thúc sau mười mấy mét.

Rắn cổ tích cũng vậy thôi, dẫu có chút dài hơn.

Chuỗi chữ số tạo nên số Pi

không dừng lại bên mép giấy,

nó có thể kéo dài ra bàn, xuyên qua không khí,

qua những bức tường, mây , lá, tổ chim,

đâm thẳng vào bầu trời, qua mọi vô-đáy và vô-biên.

Ôi, đuôi sao chổi ngắn làm sao, chỉ nhỉnh bằng chuột nhắt!

Tia sáng của ngôi sao kia thật là yếu ớt, bị bẻ cong trong mọi không gian!

Còn ở đây hai ba mười lăm ba trăm mười chín

số điện thoại của tôi số áo sơ mi của anh

năm một nghìn chín trăm bảy ba tầng sáu

số dân cư sáu mươi lăm xu

vòng hông hai ngón tay mật mã và trò chơi đố chữ,

nơi sơn ca ơi hãy bay nhảy, véo von

và gọi mời niềm tĩnh lặng bình yên,

cả trần gian lẫn  thiên đường đều trôi qua hết,

nhưng số Pi thì không, điều đó không xảy đến,

nó vẫn an nhiên năm

không chỉ tầm tầm tám

vầy vậy bảy

nó cứ thúc, chao ơi, nó thúc sự vĩnh cửu ù lì uể oải

phải kéo dài.

Pi

Please follow and like us:

Trẻ con học toán khi chơi đồ hàng

Published / by admin

Chu Cẩm Thơ

(PGS Chu Cẩm Thơ là chuyên gia về ngành sư phạm và là người sáng lập PoMath. Bài viết này là theo lời mời của Sputnik Newsletter, và sẽ được đưa vào Số 3 của tạp chí)

Trẻ con thực sự là một đối tượng được quan tâm. Người lớn quan tâm chúng bởi chúng bé nhỏ, cần được chăm sóc. Những đứa trẻ khác cũng quan tâm bởi chúng cần bạn chơi cùng. Trẻ con rất khó chịu khi tự chơi. Khi trẻ khoảng 2 tuổi, người lớn bắt đầu chú ý đến việc dạy cho chúng. Ngày nay, nhiều cha mẹ mong muốn bắt đầu dạy “toán” cho chúng vì họ nghĩ rằng trí thông minh logic thật quan trọng, mà trí thông minh ấy lại có được khi học toán. Một số cha mẹ khác lại phản đối điều này. Họ thấy ngôn ngữ, khả năng vận động mới là quan trọng. Nhưng những người cha mẹ hiểu biết thuộc cả hai nhóm trên đều nhận ra rằng , trẻ cần được chơi. Chơi – đó thực sự mới là việc của trẻ.

Khoảng gần 3 tuổi, khi trẻ con đã nói được. Chúng bi bô gọi bà, gọi ba, gọi mẹ, gọi tên những người thân quen. Khi đó, chúng cũng bắt đầu bày tất cả đồ chơi (có thể là đồ dùng hay bất cứ đồ vật gì mà chúng thấy). Chúng cứ xếp đi, xếp lại đồ vật. Ngay cả những bé chóng chán cũng xếp như vậy đến 2-3 lần. Điều gì đã xảy ra trong quá trình xếp ấy? Chúng đã đếm các đồ vật. Có thể chúng đếm ở trong đầu mà người lớn không nghe thấy. Nhưng chúng đếm thật. Chúng đều ngạc nhiên rằng, cứ xếp đi xếp lại đồ vật, chúng vẫn đếm được chừng ấy mà thôi. Điều mà mấy tháng trước đó, chúng không thể nhận ra. Vì khi ấy, chúng mải cho tất cả những gì vớ được vào mồm, vừa để thỏa mãn sự “ngứa răng” vừa để “nếm” đồ vật xem chúng có mùi vị ra sao. Trong quá trình xếp đi xếp lại đồ vật (sẽ thể hiện rõ nhất khi các đồ vật là khác nhau, thí nghiệm cho thấy, nếu các đồ vật giống hệt nhau thì chúng sẽ chán ngay lập tức, chúng sẽ nghĩ đến để những đồ vật giống nhau đó ra những nơi khác nhau), chúng còn có thể đặt tên cho từng nhóm đồ vật nữa, sự phát hiện ra những nét khác – giống nhau, đặt tên, thứ tự,… đã minh chứng đứa trẻ đã đạt được một sự nhận thức căn bản về số học. Nói như Alfred North Whitehead (1861 – 1947, nhà triết học và toán học nổi tiếng người Anh, tác phẩm nổi tiếng nhất của ông trong lĩnh vực toán học là 3 tập sách Principia Mathematica (‘Nguyên lý của Toán học’ 1910–1913), viết cùng với cựu sinh viên của ông là Bertrand Russell. Principia Mathematica được coi là một trong những tác phẩm quan trọng nhất về logic toán của thế kỷ 20, và được xếp hạng 23 trong danh sách 100 tác phẩm đứng đầu thế kỷ 20 trong lĩnh vực sách phi hư cấu viết bằng tiếng Anh bởi Modern Library) thì “Người đầu tiên nhận ra sự tương đồng giữa một tập hợp bảy con cá với một tập hợp bảy ngày đã tạo ra một bước tiến đáng kể trong lịch sử tư duy. Y là con người đầu tiên đã ấp ủ một khái niệm thuộc về khoa học của toán học thuần túy”. Đứa trẻ ba tuổi cũng có tiềm năng toán học như thế. Hãy cho chúng thêm một cái hộp hay một cái lọ. Chúng sẽ vô cùng thích thú khi cứ lăn đi lăn lại cái hộp đó, rồi chúng bắt đầu thả các đồ vật vào, rồi lại lấy các đồ vật ra. Người lớn quan sát chúng chơi cùng các đồ vật còn cười tủm tỉm: “nó chơi với cái hộp và mấy đồ linh tinh này được 10 phút rồi đấy, nó cứ làm đi làm lại như vậy mà không biết chán”. Nếu người lớn chơi cùng chúng, kèm thêm những mô tả, những câu chuyện thì chúng còn tròn vo mắt và bắt chước nữa.

(ảnh trên Internet)

Đến khoảng 4 – 5 tuổi, lúc này đứa trẻ thực sự biết đếm. Nó có thể vừa đi vừa đếm những bước chân. Chúng đếm mọi thứ chúng gặp. Có bao nhiêu quả táo trên cây? Có bao nhiêu cái kẹo ở trong đĩa? Có bao nhiêu cái cốc ở trên bàn? ….Lúc này, đứa bé có thể chơi được trò chơi nói một con số và chỉ tay vào nhóm đồ vật có đúng số lượng như vậy. Nó cũng hiểu được: nó nói một con số duy nhất sau khi chỉ tay vào một vật duy nhất và lặp đi lặp lại quá trình này với từng “con số ghi lại” ở vị trí tiếp theo trong dãy số, thì khi ấy đứa trẻ có thể nói số lượng của các vật trong dãy. Vật thứ nhất nó sờ (chỉ tay) vào là số 1, vật tiếp theo là số 2, vật thứ ba là số 3, …. Nó cũng hiểu rằng đến vật cuối cùng thì cũng là tổng số đồ vật nó có. Vì vậy, lúc này khác với những lần chơi với bạn khi 2 – 3 tuổi, nó đã biết thế nào là nhiều hơn/ ít hơn/ bằng nhau. Khi trước, chúng mè nheo khi đòi đổi đồ vật, đổi phần khi được chia chỉ vì sự hấp dẫn của màu sắc, sự to/ nhỏ hoặc đơn thuần thích cái mình không có. Thì nay, chúng thực sự ý thức được phần nhiều/ phần ít thông qua mối quan hệ tương ứng giữa số lượng đồ vật. Chúng có thể kiểm tra số lượng bằng cách đếm. Vì thế, lúc chơi, nếu không có bạn, chúng có thể chia vai và bắt đầu thể hiện quyền lực được “phân chia” cho mọi người. Chúng sẽ thật thích thú khi phân chia những nhóm đồ vật có thể chia được thành hai phần bằng nhau về số lượng (có số lượng các đồ vật là số chẵn) rồi lại tìm kiếm, tạo thành nhóm không thể phân chia thành hai phần bằng nhau được (có số lượng các đồ vật là số lẻ). Trò chơi chia thành hai phần bằng nhau thực sự là một thử thách mà chúng không thấy chán ngay cả khi đã hiểu được ý niệm. Cứ thay đổi số lượng đồ vật, loại đồ vật, chúng lại thích thú làm việc phân chia. Khi chơi đồ hàng, đứa trẻ 4 tuổi cũng thích xếp những đồ vật thành những hình khối. Chúng reo lên khoe với bạn những hình mới mà chúng xếp được với những lời kể rất thú vị về sự tưởng tượng của mình: Đây chính là con khủng long, cái đầu của nó nhô cao; đây chính là tòa lâu đài của em búp bê mà tớ vừa mua cho em ấy; tớ có thể xếp cái máy tính của bố tớ; ….

(Ảnh trên Internet)

Khi đứa trẻ 6 tuổi, trước khi chán chơi đồ hàng, chúng vẫn chơi đồ hàng cùng bạn một cách say sưa. Chúng thích so sánh. Bạn có nhiều đồ vật hơn hay tớ có nhiều hơn. Chúng so sánh qua số lượng là chính, nhưng khi chán rồi, thì bắt đầu so sánh sang màu sắc, sự đẹp, sự tốt, sự đắt tiền, … và khi chúng bắt đầu chuyển sang so sánh kiểu ấy, là y như rằng cho chơi sắp kết thúc, chúng sẽ có những tranh cãi kịch liệt về những tiêu chí ngoài “toán” đó (vì thế, người ta thường cảm ơn “Toán” vì so sánh qua con số gây ít tranh cãi nhất). Tuy vậy, đứa trẻ 6 tuổi vẫn cố gắng duy trì trò chơi của mình. Nó có thể thêm/ bớt số lượng vào số đồ vật chúng có để duy trì sự so sánh. Lúc này, chúng có thể thực hiện thao tác cộng. Chẳng hạn, nếu chúng có ba quyển sách, bạn cũng có 3 quyển, thì chúng sẽ chạy đi để lấy thêm những quyển sách khác để minh chứng rằng mình có nhiều hơn. Chúng thích chơi trò mua hàng, đổi hàng và chúng biết thay đổi quy tắc đổi sau những lần chơi. Lần đầu, chúng thường đổi 1-1. Sau đó, nếu chúng phát hiện đồ chơi của chúng nhiều hơn (ít hơn) hoặc to hơn (tốt hơn) thì bắt đầu đổi với quy tắc khác ( 1 cái bút sẽ đổi hai quyển vở nhé). Khi áp đặt những quy tắc đó, trẻ đã đặt ra những quan hệ, và duy trì trò chơi theo luật chơi rất logic của mình. Món đồ hàng tưởng như vô bổ kia thực ra lại là lớp học toán rất đầy đủ dụng cụ. Chúng có những đoạn thẳng, chúng sẽ xếp thành các hình hình học phổ biến mà chúng thấy như là: hình tam giác, hình cái cửa (hình chữ nhật), hình cái hộp, … và có đứa trẻ “lắm lời” thì lại còn biết kể chuyện về những hình đó, hoặc những đứa trẻ thích vẽ thì còn trang trí đủ kiểu. Chúng sẽ chán chơi đồ hàng khi mà chúng đến tuổi thích “suy luận”. Chúng không cần đến những đồ chơi cụ thể để chơi nữa mà thích suy nghĩ theo những con số, những hình tượng đã có ở trong đầu. Lúc đó, trẻ mới bắt đầu phù hợp học phép tính.

Việc chơi đồ hàng của tụi trẻ đáng yêu như vậy đó. Nhiều cha mẹ nghĩ rằng phải học thuộc các con số và làm những phép tính thì mới là học Toán. Nhưng thực sự không phải vậy, khi chơi, trẻ đã học toán rồi. Tụi trẻ học toán theo cách của chúng và cũng thích hợp theo cách tiếp nhận toán học theo đúng lịch sử hình thành và đặc điểm của Toán học: từ thực tiễn phổ dụng đến tư duy trừu tượng. Qua chơi đồ hàng, trẻ tiếp tục tri giác các đối tượng, để từ đó khám phá ra thế giới xung quanh, thiết lập những tưởng tượng và xúc cảm của bản thân.

Please follow and like us:

Chồng phó mát và tháp Hà Nội

Published / by admin

Đây là một vấn đề thuật toán hết sức thú vị, và trường hợp riêng của nó đã được đem làm câu đố cho Spunik Newsletter Số 2. Chúng tôi xin trình bày lại nó thành riêng một bài dưới đây:

a) Bạn có thể đã nghe nói về bài toán Tháp Hà Nội: Có 3 cái cột, và có 8 miếng gỗ tròn có đục lỗ ở giữa được xếp vào cột thứ nhất tạo thành hình một cái tháp, sao cho miếng ở trên nhỏ hơn miếng ở dưới (tựa như các tầng tháp ở các ngôi chùa càng lên cao càng nhỏ dần).  Bây giờ cần dịch chuyển các miếng tròn giữa các cột với nhau, với nguyên tắc miếng to hơn thì không được xếp lên trên miếng thấp hơn, sao cho cuối cùng di chuyển được toàn bộ cái tháp từ cột thứ nhất sang cột thứ ba. Hỏi phải làm thế nào, và di chuyển mất (ít nhất) bao nhiêu nước? (Mỗi nước là di chuyển một tầng tháp từ cột này sang cột khác). Nếu thay số 8 bằng một số n bất kỳ thì sao?}

OLYMPUS DIGITAL CAMERA

b) Bây giờ chúng ta thay các các cột bằng các cái ghế, và các tầng tháp hình tròn bằng các miếng phó mát tròn kích cỡ tăng dần từ nhỏ đến to, thì bài toán vẫn như vậy. Nhưng bây giờ, thay vì có 3 cái ghế, ta có những 4 cái ghế, và được di chuyển các miếng phó mát giữa các ghế đó (với điều kiện như cũ: phó mát ở mỗi ghế phái xếp thành chồng, và không được để miếng to lên trên miếng nhỏ), thì cần ít nhất là bao nhiêu bước di chuyển để chuyển toàn bộ chồng phó mát gồm 8 miếng từ ghế thứ nhất sang ghế thứ tư?

c) Nếu thay vì 8 miếng phó mát và 4 ghế, ta có một chồng 11 miếng phó mát và 4 ghế thì sao? Cần bao nhiêu bước?

Câu đố này là cải biên từ câu đố đầu tiên trong quyển sách rất thú vị nhan đề  Những câu đố tư duy và lô-gic xứ Canterbury (Tủ sách Sputnik số 026) của tác giả Dudeney. Có thể mở rộng nó lên trường hợp n miếng phó mát và k ghế, tìm số bước B(n,k) di chuyển ít nhất.

01Reve

a) Trong trường hợp chỉ có 3 ghế (trò chơi Tháp Hà Nội), thuật toán khá là hiển nhiên: Cần chuyển chồng n-1 phó mát sang ghế thứ 2 rồi mới nhấc được miếng phó mát to nhất dưới cùng sang ghế thứ 3, rồi mới chuyển được chồng (n-1) miếng phó mát sang ghế thứ 3. Giả sử là ta không làm các động tác nào thừa (như kiểu làm một số bước dịch chuyển, mà sau đó trạng thái các chồng phó mát vẫn hệt như cũ) thì chỉ có mỗi cách làm như trên thôi, và ta có công thưc quy nạp:

B(n,3) = B(n-1,3) + 1 + B(n-1,3) = 2 B(n-1,3) + 1

(bởi vì để chuyển n-1 miếng phó mát từ cột đầu tiên sang cột thứ hai thì mất B(n-1,2)  bước, v.v.).

Từ công thức quy nạp này ta suy ra B(n,3) = 2^n - 1.

b) Trường hợp có n miếng phó mát (ở đây n=8)  và 4 ghế hoặc nhiều hơn, thuật toán tối ưu cũng phải là thuật toán “không có những bước thừa”. Lý luận để loại đi những hành động thừa, ta có thể thấy rằng thuật toán tối ưu phải gồm những công đoạn như sau:

– Công đoạn 1: Chuyển m miếng phó mát trên cùng (0 \leq n-1) từ ghế thứ nhất sang ghế thứ hai, mất B(m,4) bước.

– Công đoạn 2: Chuyển n-1-m miếng phó mát tiếp theo từ ghế thứ nhất sang ghế thứ 3, mất B(n-1-m,3) bước. (Chú ý rằng trong công đoạn 2 này thì không dùng được ghế thứ hai vì có những miến phó mát nhỏ hơn đặt ở đó, nên bài toán trở thành di chuyển với 3 ghế)

– Công đoạn 3: Chuyển miến phó mát to nhất sang ghế thứ tư, mất 1 bước.

– Công đoạn 4: Chuyển chồng phó mát từ ghế thứ ba sang ghế thứ tư, mất B(n-1-m,3) bước,

– Cộng đoạn 5: Chuyển nốt chồng phó mát từ ghế thứ hai sang ghế thứ tư, mất B(m,4) bước

(Ba công đoạn 2-3-4 có thể gộp thành một).

Tổng cộng, ta mất 1 + 2B(m,4) + 2B(n-1-m,3) = 2B(m,4) + B(n-m,3) bước di chuyển,
và ta được công thức quy nạp:

B(n,4) = \min_{0 \leq m \leq n-1 } (1 + 2B(m,4) + 2B(n-1-m,3))

Chú ý rằng, với mỗi n, ta phải chọn m tương ứng sao cho tổng B(m,4) + B(n-1-m,3) là nhỏ nhất.

Vì nói chung khi có nhiều ghế thì sẽ mất ít bước di chuyển hơn là khi chỉ có ít ghế, tức là ta luôn có B(m,4) \leq B(m,3) với mọi m, nên dễ thấy là m tối ưu phải thỏa mãn điều kiện m \geq n-1-m. Trong trường hợp n=8 thì m chỉ có thể nhận một trong 4 khả năng là 4,5,6 hoặc 7. Để so sánh các khả năng đó, ta phải lần lại theo quy nạp, tính ra B(4,4) = 7B(5,4) = 1 + 2 (B(2,4) + B(2,3)) = 1 + 2\times (3+3) = 13, B(7,4) > B(6,4) = 1 + 2(B(3,4) + B(2,3)) = 1 + 2 \times (5+3) = 17. Từ đây ta suy ra đối với n=8 thì m tối ưu là 5, và ta có

B(8,4) = 1 + 2 (B(5,4) + B (2,3)) = 1 + 2 \times (13 + 3) = 33

Đáp số: Trong trường hợp 8 miếng phó mát và 4 ghế  thì thuật toán tối ưu dùng 33 bước.

Câu c) với11 miếng phó mát phân tích tương tự, bạn đọc thử tự tính toán.

Trong sách  Những câu đố tư duy và lô-gic xứ Canterbury, Dudeney đưa ra một bảng để tính số bước tối ưu trong các trường hợp mà số ghế là k=3,4,5, và số phó mát là những số thích hợp nào đó.

Lập  một bảng như sau: Hàng đầu tiên bao gồm các số tự nhiên liên tiếp. Hàng thứ hai nhận được bằng cách cộng tổng các số tính từ số đầu tiên của  hàng thứ nhất, ví dụ 1+2+3 = 6 là số thứ ba của hàng thứ hai  (các số này có dạng n_i = i(i+1)/2, gọi là các số tam giác). Hàng thứ ba nhận được bằng cách cộng tổng các số tính từ số đầu tiên của hàng thứ hai, ví dụ $1+3+6 = 10$ là số thứ ba của hàng thứ ba.  Hàng thứ tư là dãy các số có dạng 2^i-1.

Hàng tiếp theo nhận được bằng cách nhân đôi số phía trước rồi cộng thêm với số phía trên, ví dụ 49 = 17 \times 2 + 15 là số thứ tư của hàng này. Hàng cuối cùng cũng nhận được theo cùng công thức quy nạp
như hàng thứ năm.

HanoiTowerCheese

Bảng này cho ta kết quả trực tiếp cho trường hợp 3 ghế và số miếng phó mát bất kỳ,  trường hợp 4 ghế với số miếng phó mát dạng tam giác (tức là các số n_i = i(i+1)/2), và trường hợp 5 ghế với số miếng phó mát dạng hình chóp. Trong những trường hợp này, có thể chỉ ra phương pháp tối ưu như sau:

Trong trường hợp nhiều hơn 3 ghế: thuật toán dựa trên quy nạp và  phương pháp tách chồng theo như các công đoạn ghi phía trên. Chẳng hạn nếu có 4 ghế và 10 miếng phó mát thì ta làm như sau: Ta di chuyển 6 miếng phó mát ghế thứ nhất sang ghế thứ hai mất B(6,4) bước, rồi di chuyển 4 miếng phó mát còn lại  từ ghế thứ nhất sang ghế thứ tư mất B(4,3) = 1 + 2 B(3,3) bước, rồi di chuyển 6 miếng phó mát từ ghế thứ hai sang ghế thứ tư, mất thêm B(6,4) bước nữa, tổng cộng là B(10,4) = 2 B(6,4) + B(4,3) = 2 \times 17 + 15 = 49 bước.

Theo bảng của Dudeney, chúng ta nhận thấy, chẳng hạn khi có 4 ghế và số phó mát là một số dạng n = i(i+1)/2 thì phải chọn số  m tương ứng bằng m = i(i-1)/2. Nhưng vì sao số m này lại là số tối ưu thì Dudeney không giải thích. Bạn có thể giải thích vì sao được không?

Please follow and like us:

Đố vui kỳ này

Published / by admin

Đây là các câu đố trong Sputnik Newsletter Số 2
Xin mời bạn đọc gửi lời giải về: newsletter@sputnikedu.com
Thời hạn gửi lời giải: Đến hết tháng 02/2017. (Có thể chỉ giải một bài cũng được).
Chú ý ghi rõ họ tên, địa chỉ và số điện thoại liên lạc, lớp học (nếu có).
Những ai có lời giải hay sẽ được tuyên dương trên Newsletter và được tặng thưởng sách Sputnik.

Chú ý: Bạn đọc có thể gửi đến lời giải của những câu đố kỳ trước mà chưa công bố lời giải.

Câu đố 2-1 (Điểm nguyên). Cho một hình ngũ giác lồi ABCDE bất kỳ trên mặt phẳng với một hệ tọa độ cho trước, với các đỉnh đều là điểm nguyên. (Điểm nguyên là điểm có các tọa độ đều là số nguyên). Các đường chéo của hình ngũ giác này cắt nhau tạo thành một hình ngũ giác nhỏ A_1B_1C_1D_1E_1 bên trong. Chứng minh rằng hình ngũ giác A_1B_1C_1D_1E_1 chứa ít nhất một điểm nguyên ở bên trong hoặc trên biên của nó.

Câu đố 2-2 (Che vết bẩn). Trên một mặt bàn phẳng có một vết ố có đường kính 5 cm. (Đường kính của một hình là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của hình đó). Chứng minh rằng có thể phủ kín vết ố đó bằng một tấm lót tròn có bán kính 3 cm.

Câu đố 2-3 (Bài toán xếp kẹo). Có một hộp kẹo hình lục giác đều mỗi cạnh dài 3 cm, để xếp các viên kẹo hình thoi mỗi cạnh dài 1cm và góc nhọn bằng \pi/3. (Hình thoi này là hợp của hai hình tam giác đều). Dễ thấy có thể xếp vừa khít 27 viên kẹo vào hộp. Bây giờ giả sử các viên kẹo có một trong 3 màu: trắng, xanh, đỏ. Đặt hộp sao cho một cạnh của nó nằm ngang phía dưới. Các viên kẹo màu trắng phải được xếp sao cho đường chéo dài của nó có hướng thẳng đứng từ dưới lên trên, các viên kẹo xanh phải xếp sao cho đường chéo dài của nó có hướng chếch từ trên xuống dưới khi nhìn từ trái sang phải, còn các viên kẹo đỏ phải xếp sao cho đường chéo dài của nó có hướng chếch từ dưới lên trên khi nhìn từ trái sang phải (xem hình vẽ). Dễ thấy có thể xếp như vậy với đúng 9 viên kẹo trắng, 9 viên kẹo xanh và 9 viên kẹo đỏ.

a) Nếu số kẹo trắng khác 9 (và tổng số kẹo vẫn là 27) thì có thể xếp kín hộp sao cho điều kiện phía trên được thỏa mãn không? (Đưa ra ví dụ hoặc giải thích thỏa đáng).

b) Có tổng cộng bao nhiêu cách xếp kẹo khác nhau (với các viên kẹo trắng, xanh, đỏ) thỏa mãn điều kiện trên?

Hexagon

Please follow and like us:

Đố vui kỳ này (cho Newsletter Số 2-2017)

Published / by admin

Đây là những câu đố vui sẽ được đăng kèm lời giải trong Sputnik Newsletter Số 2-2017.

Xin mời các bạn tham gia giải đố. Lời giải xin gửi về newsletter@sputnikedu.com, ghi kèm: Họ và tên, địa chỉ, trường học và lớp học (nếu có), số điện thoại liên lạc. Những ai có lời giải hay, được đăng lại trong Newsletter sẽ được tặng quà là sách Sputnik (được chọn sách). Thời hạn cuối cùng để gửi lời giải: hết ngày 25/1/2017 (giờ Việt Nam).

Câu đố 1 (Tetris). Có 25 hình “tetris” dạng “que chữ nhật” 1 \times 4 (một chiều là 1, một chiều là 4). Hỏi có thể xếp chúng lại với nhau để phủ kín một hình vuông 10 \times 10 được không? Nếu có thì chỉ ra ví dụ, nếu không thì giải thích tại sao.

tetris

Câu đố 2 (Chồng phó mát và tháp Hà Nội). a) Bạn có thể đã nghe nói về bài toán Tháp Hà Nội: Có 3 cái cột, và có 8 miếng gỗ tròn có đục lỗ ở giữa được xếp vào cột thứ nhất tạo thành hình một cái tháp, sao cho miếng ở trên nhỏ hơn miếng ở dưới (tựa như các tầng tháp ở các ngôi chùa càng lên cao càng nhỏ dần).  Bây giờ cần dịch chuyển các miếng tròn giữa các cột với nhau, với nguyên tắc miếng to hơn thì không được xếp lên trên miếng thấp hơn, sao cho cuối cùng di chuyển được toàn bộ cái tháp từ cột thứ nhất sang cột thứ ba. Hỏi phải làm thế nào, và di chuyển mất (ít nhất) bao nhiêu nước? (Mỗi nước là di chuyển một tầng tháp từ cột này sang cột khác). Nếu thay số 8 bằng một số n bất kỳ thì sao?

b) Bây giờ chúng ta thay các các cột bằng các cái ghế, và các tầng tháp hình tròn bằng các miếng phó mát tròn kích cỡ tăng dần từ nhỏ đến to, thì bài toán vẫn như vậy. Nhưng bây giờ, thay vì có 3 cái ghế, ta có những 4 cái ghế, và được di chuyển các miếng phó mát giữa các ghế đó (với điều kiện như cũ: phó mát ở mỗi ghế phái xếp thành chồng, và không được để miếng to lên trên miếng nhỏ), thì cần ít nhất là bao nhiêu bước di chuyển để chuyển toàn bộ chồng phó mát gồm 8 miếng từ ghế thứ nhất sang ghế thứ tư?

01Reve

c) Nếu thay vì 8 miếng phó mát và 4 ghế, ta có một chồng 11 miếng phó mát và 4 ghế thì sao? Cần bao nhiêu bước?

31-GameCâu đố 3 (Trò chơi 31 điểm).  Đây là một trò từng được các tay cờ bạc dùng ở các trường đua ngựa hay trên tàu hỏa để moi tiền dân chúng. Tuy nhiên, bản thân nó là một trò chơi khá thú vị, mà các bạn có thể chơi với nhau.

Có 24 quân bài (từ A=1 đến 6, 4 quân cho mỗi số) như trong hình minh họa, và hai người chơi lần lượt đi. Người thứ nhất  úp một quân bài xuống, ví dụ như quân 2, và đếm “hai”. Người chơi thứ 2 úp một quân bài xuống, ví dụ như quân 5, cộng số đó vào số trước được 7, và nói “bảy”. Người thứ nhất lại úp một quân bài xuống, vì dụ như quân 1, và nói “tám” (7+1=8). Cứ như thế, cho đến khi ai nói được số 31 thì thắng. Còn nếu không có được số 31 thì ai vượt số 31 trước là thua.

Câu hỏi ở đây là, để chiến thắng (với giả sử đối phương của bạn là người chơi rất giỏi), bạn phải đi trước hay nhường đối phương đi trước, và dùng chiến thuật như thế nào?

Câu đố 4 (Nhện đi tìm ruồi). Trong một căn phòng trống hình hộp chữ nhật có kích thước 30 ft chiều dài, 12 ft chiều rộng và 12 ft chiều cao,chỉ có một con nhện và một con ruồi. Con nhện đứng ở điểm giữa của một bức tường, cách trần 1 ft, như điểm A trên hình vẽ, và một con ruồi ở bức tường đối diện, cũng ở giữa bức tường và cách sàn nhà 1 ft, như điểm B trong hình vẽ. Đâu là khoảng cách ngắn nhất mà con nhện phải bò để đến được vị trí của con ruồi khi con ruồi đứng yên một chỗ? Con nhện không được phép nhảy xuống  hoặc dùng mạng nhện, mà chỉ được bò. (ft = foot, đơn vị đo độ dài của Anh, bằng 12 inch)

SpiderFly

Câu đố 5 (Kén chồng trong năm 2017). Được biết nữ thần săn bắn Artemis muốn lấy chồng, nữ thần trí tuệ Athena liền thách đố như sau. Xếp 2017 chàng trai tuấn tú nhất của Hy Lạp thành một hàng dài. Athena và Artemis chơi. Đến lượt mỗi người thì loại đi khỏi hàng hoặc là 1 chàng, hoặc là 2 chàng đứng cạnh nhau. (Ví dụ như chàng số 5 đứng cạnh chàng số 6, nhưng số 5 không đứng cạnh số 7 cho dù số 6  đã bị loại đi). Nếu như sau một lượt đi nào đó của Artemis chỉ còn lại đúng 1 chàng, thì Artemis thắng và được lấy chàng đó làm chồng. Athena chơi rất giỏi và không muốn Artemis thắng, nhưng nhường cho Artemis chọn đi trước hoặc đi sau. Hỏi Artemis phải chọn đi trước hay đi sau, và chơi như thế nào để chắc thắng?

Please follow and like us:

Bạn có thích nội dung này không? Hãy chia sẻ!