Tô pô là gì và có ích gì?

Published / by admin

(Nguyễn Tiến Dũng)

Lần đầu tiên tôi được tiếp xúc với tô-pô là qua quyển sách “Tô pô đại cương” (General Topology) của Kelley do GS Đỗ Đức Thái cho mượn từ năm 1986 khi còn ở Việt Nam. Thời xa xưa đó, tất nhiên tôi đọc cũng có hiểu phần lớn các định lý, nhưng là chỉ hiểu một cách rất máy móc, chứ không hiểu ý nghĩa của chúng, sao lại cần chúng để làm cái quái gì (và cũng chẳng có ai dạy cho). Mãi sau này tôi mới từ từ hiểu dần về ý nghĩa của tô-pô. Nhưng khi dạy học lần này (ở trường Shanghai Jiao Tong University), tôi muốn các sinh viên cảm thấy được ý nghĩa ngay từ đầu, để khả năng ứng dụng được cao hơn.

Xuất phát điểm của môn tô-pô là quãng cuối thế kỷ 19 – đầu thế kỷ 20, với những tên tuổi như Poincaré, Cantor, Klein, Mobius, Brouwer, Urysohn, v.v. Poincaré gọi nó là “analysis situs”, tức là “giải tích theo vùng miền”. Nói một cách nôm na, những tính chất tô-pô của các vật thể (hay không gian) được xem xét chính là những tính chất hình học “rough, robust” của nó, không bị mất khi ta thay đổi (biến dạng, bóp méo) nó một cách “liên tục” mà không “làm gãy, khoét đi hay gắn gì vào ở chỗ nào”. Ví dụ như cái chun buộc là một vòng tròn – nhưng đó là một vòng tròn tô-pô, dù xếp méo mó hay kéo dài nó ra đến mấy thì về mặt tô-pô nó vẫn “tròn”, tức là vẫn là một “đường khép kín không có điểm đầu điểm đuôi”, nhưng nếu làm đứt nó thì nó không còn là vòng tròn tô-pô nữa.

Để nhận biết xem các hình (các không gian, đa tạp, …) giống nhau hay khác nhau về mặt tô-pô, người ta phải nghĩ ra các tính chất đặc trưng của chúng (tính compact, tính đầyy đủ, tính tách được, tính liên thông, số chiều, các chỉ số, các nhóm đồng luân đồng điều v.v.), và đại số chính là công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất đó, nên mới xuất hiện ngành “tô-pô đại số”. Ví dụ như cái bánh có 1 lỗ thì giống cái cốc có 1 quai nhưng khác cái bánh có 2 lỗ về mặt tô-pô, và số “lỗ” ở đây chính là một loại chỉ số đặc trưng để mà phân biệt. Thế tô-pô có ích gì? Nhiều lắm, tôi cũngchỉ biết một vài trong số đó thôi, ở đây xin kể qua.

Thứ nhất là ứng dụng trong giải tích hàm, để mà khảo sát nghiệm của các loại phương trình vi tích phân và đạo hàm riêng v.v. Nhiều khái niệm tô-pô (như là to pô yếu, tô pô mạnh, hội tụ yếu, completion, v.v.) được phát triển chính là vì nhu cầu của việc nghiên cứu các hàm số, và cũng chính vì thế môn tô-pô đại cương hay dược dạy chung với môn giải tích hàm ở đại học.

Thứ hai là trong mô tả toán học nói chung của hình học và của thế giới. Thế giới cần được mô tả bằng hình học, và từ khi có ngôn ngữ tô-pô thì người ta mới mô tả nó dễ dàng hơn chứ trước kia rất lúng túng và nhiều khi tối nghĩa.

Thứ ba là trong vật lý và hóa học. Ba nhà vật lý được giải Nobel 2016 chính là nhờ các công trình về “chuyển pha tô-pô”: các pha khác nhau của vật chất (ví dụ giữa pha cách điện và pha dẫn điện và pha siêu dẫn) khác nhau về mặt tô-pô như thế nào, và điều này chắc chắn có nhiều ứng dụng trong công nghệ vật liệu mới. Trước đó, người ta cũng đã biết hiện tượng “chirality” (bên trái bên phải khác nhau) trong hóa học của các phân tử chính là hiện tượng tô-pô.

Thứ tư là trong lý thuyết trò chơi chiến lược trong các vấn đề chính trị xã hội cũng có sự xuất hiện của tô-pô, ví nhụ như khi người ta nghiên cứu các ổn định Nash, đưa về lý thuyết diểm kỳ dị kiểu như thuyết Morse.

Thứ năm là trong tin học. Ví dụ như “domain theory” (một lý thuyết về mạng thông tin) dùng rất nhiều khái niệm tô-pô …

Và còn nhiều thứ khác nữa …

Một điều thú vị nữa là tô-pô và tổ hợp là hai ngành toán học tưởng chừng rất xa cách nhau nhưng thực rất gần gũi (vì toán học là một thể thống nhất!). Ví dụ như định lý Brouwer về điểm bất động thể phát biểu lại như một bài toán tổ hợp và chứng minh bằng phương pháp tổ hợp :)